3 декабря 2019 года состоится очередной семинар для руководителей математических кружков.
Темы, которые планируется обсудить:
Время: 18-15
Место: МНИЛ "Дискретная и вычислительная геометрия" им. Б.Н. Делоне (ул. Комсомольская д.3).
Руководитель семинара: Преображенский И.Е.
Приглашаются все желающие.
Контактные данные: preobrazenskii@gmail.com
Докладчик: Александр Васильевич Михайлов (Лидский университет, ЯрГУ)
Тема: Полисимметрические полиномы и алгебры Фробениуса
Дата: 4 декабря 2019 года (среда)
Аннотация:
В докладe будет описан метод построения аддитивных базисов и соответствующих таблиц умножения в алгебрах Фробениуса, связанных с кольцами симметрических функций на степенях двумерного пространства. Для малых размерностей будут даны явные выражения резольвент этих алгебр, как модулей над кольцами симметричных полиномов компонент.
Место проведения
7-й корпус ЯрГУ, аудитория 422
Сергей Александрович Игонин (ЯрГУ) прочтет курс лекций
«Введение в современную алгебру, дифференциальную геометрию и топологию».
по средам в недели-числители в 12:30, ауд. 422.
25 декабря лекции не будет.
Лекции продолжатся в 2020 году.
Программа лекций:
Полилинейная алгебра и тензорное исчисление.
Группы, кольца, модули, алгебры Ли.
Топологические пространства,
гладкие (дифференцируемые) и комплексно-аналитические многообразия.
Векторные поля, дифференциальные формы, римановы метрики на многообразиях.
Векторные расслоения над многообразиями. Касательное и кокасательное расслоения.
Римановы поверхности и алгебраические кривые.
Дифференциал де Рама (внешний дифференциал) для дифференциальных форм, комплекс де Рама и его когомологии.
Интегрирование дифференциальных форм и теорема Стокса.
Симплектические структуры, гамильтонов формализм, скобки Пуассона на многообразиях и их приложения в классической механике.
Формулировка теорий из физики на языке дифференциальной геометрии.
Основы алгебраической топологии:
гомотопии, накрытия, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий топологического пространства.
В курсе используются учебные материалы из ведущих университетов России, включая МГУ им. М.В. Ломоносова и ВШЭ (Москва). Некоторые факты будут даны без доказательства, но будут представлены основные идеи.
Борис Сергеевич Бычков (ЯрГУ, ВШЭ) 4-5 декабря прочтет миникурс из двух лекций на тему:
"Узлы и вложенные графы"
Первая лекция - среда 4 декабря в 14:15 в аудитории 412, 7-й корпус ЯрГУ.
Вторая лекция - четверг 5 декабря в 9:00 в аудитории 412, 7-й корпус ЯрГУ.
Аннотация:
В этом миникурсе из двух лекций мы начнем с теории узлов (приносите шнурки!) и графов на двумерных поверхностях (а также пончики и крендели). Мы покажем, что каждому особому узлу, то есть узлу с самопересечениями, отвечает граф на поверхности с единственной вершиной. Чтобы получать графы с бОльшим числом вершин мы введем непростой комбинаторный объект -- матроиды. Весь этот сюжет удивительно близко связан с классической и до сих пор нерешенной проблемой: как определить, развязывается данный узел или нет? Никаких специальных предварительных знаний не требуется.
Этот миникурс пройдет в рамках учебной программы «Современные приложения элементарной математики», состоящей из серии двухдневных миникурсов, по каждому из которых будет проведено письменное тестирование. Время проведения тестирования будет объявлено дополнительно.
Объявлен конкурс для студентов и аспирантов по прохождению этой учебной программы. Победители конкурса будут награждены дипломами, призами и получат информацию о возможностях дополнительного образования и научной работы.
Студенты математического факультета ЯрГУ могут ходить на миникурсы, даже если они пересекаются с другими занятиями. Если студенту нужен документ, подтверждающий, что он пропустил какое-то занятие из-за посещения миникурса, такой документ можно получить в деканате.
Докладчик: Александр Эмилевич Гутерман (МГУ)
Тема: Решение проблемы Кройтера для перманента
Время: среда 20 ноября, 16:00
Место: ауд. 422, 7-й корпус ЯрГУ (ул. Союзная 144).
Аннотация:
Теория (+1,-1)-матриц, т.е. матриц, все коэффициенты которых являются плюс или минус единицами, активно изучается как для решения нетривиальных теоретических задач, таких как гипотеза Адамара, так и с точки зрения различных приложений этой теории в задачах обработки сигналов и экономике. В нашей недавней работе [Budrevich M.V., Guterman A.E. Kräuter conjecture on permanents is true, Journal of Combinatorial Theory - Series A, 162 (2019) 306-343] решена проблема Вонга о точной верхней оценке перманента невырожденной (+1,-1)-матрицы, сформулированная им в 1974 году, см. [E.T.H. Wang, On permanents of (+1, -1)-matrices, Israel J. Math., 18, 1974, 353-361] (эта проблема включена Минком в его знаменитый перечень проблем о перманенте [H. Minc, Theory of permanents 1978—1981, Linear and Multilinear Algebra, 12 №4 (1983), 227—263]). Для решения этой проблемы удалось доказать справедливость гипотезы Кройтера о ранговой оценке перманента таких матриц, которая была выдвинута в 1985 году, см. [A.R. Krauter, Recent results on permanents of (+1, -1)-matrices, Ber. №249, Berichte, 243-254, Forschungszentrum Graz, Graz, 1985]. Для каждого значения ранга удалось также получить полную характеризацию тех матриц, на которых оценка достигается.
В рамках учебной программы «Современные приложения элементарной математики», состоящей из серии миникурсов, Елена Михайловна Крейнес (МГУ) и Александр Эмилевич Гутерман (МГУ) прочтут две лекции.
Первая лекция:
Е.М. Крейнес, "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями".
Среда 20 ноября в 14:15 в аудитории 412, 7-й корпус ЯрГУ.
Вторая лекция:
А.Э. Гутерман, "Функция перманента и ее приложения".
Четверг 21 ноября в 9:00 в аудитории 412, 7-й корпус ЯрГУ.
Аннотация лекции Е.М. Крейнес:
Детским рисунком Гротендика (Grothendieck dessins d'enfants) называется вложенный граф на поверхности, при разрезании поверхности вдоль ребер которого она распадается в несвязное объединение открытых дисков. Эта простая комбинаторная структура имеет сложные и нетривиальные связи с рядом современных исследований в алгебре, алгебраической геометрии, перечислительной комбинаторике, теории струн, квантовых вычислениях и др., и в тоже время представляет собой самостоятельную интенсивно развивающуюся область науки. Будет дано введение в теорию и рассказано об актуальных на сегодняшний день открытых вопросах.
Аннотация лекции А.Э. Гутермана:
Функция перманента очень похожа на функцию детерминанта, и на первый взгляд кажется даже проще, чем определитель, т.к. является суммой тех же слагаемых, что и определитель, но взятых со знаком плюс, независимо от четности соответствующей перестановки. Первая работа, посвященная перманенту, принадлежит Коши и опубликована в 1812г.
Однако за простым видом скрываются значительно более сложные свойства. В частности, хотя
определитель вычисляется за О(n^3) операций, неизвестно существует ли полиномиальный алгоритм вычисления перманента. Даже в простейшем случае перманента матриц, состоящих только из 0 и 1 или только из 1 и -1, с ним связано много открытых вопросов и проблем. В докладе будет рассказано о некоторых из них, а также о различных недавних результатах, полученных в этом направлении, включая результаты докладчика. Отдельное внимание будет уделено результатам о связи вычисления перманента с вычислением определителя.
Эти лекции пройдут в рамках учебной программы «Современные приложения элементарной математики», состоящей из серии миникурсов, по каждому из которых будет проведено письменное тестирование. Время проведения тестирования будет объявлено дополнительно.
Объявлен конкурс для студентов и аспирантов по прохождению этой учебной программы. Победители конкурса будут награждены дипломами, призами и получат информацию о возможностях дополнительного образования и научной работы.
Студенты математического факультета ЯрГУ могут ходить на миникурсы, даже если они пересекаются с другими занятиями. Если студенту нужен документ, подтверждающий, что он пропустил какое-то занятие из-за посещения миникурса, такой документ можно получить в деканате.
Докладчик: Сергей Дмитриевич Глызин
Тема доклада: Аттракторы континуальных цепочек однонаправленно связанных генераторов
и их инвариантные характеристики
Место: ул. Комсомольская, д.3., помещение МНИЛ "Дискретная и вычислительная геометрия" им. Б. Н. Делоне
Аннотация: Вводится в рассмотрение математическая модель континуальной кольцевой цепочки однонаправленно связанных генераторов. Такой моделью является нелинейная краевая задача гиперболического типа, получающаяся в пределе из кольцевой цепочки однонаправленно связанных обыкновенных дифференциальных уравнений при неограниченном увеличении числа звеньев. Исследуется вопрос об аттракторах указанной краевой задачи. С помощью сочетания аналитических и численных методов устанавливается реализуемость в ней одной из двух альтернатив: неограниченного накапливания устойчивых периодических движений или хаотических аттракторов сколь угодно высоких ляпуновских размерностей.
Докладчик: Леонид Игоревич Ивановский
Тема доклада: Потеря устойчивости нулевого состояния равновесия одного класса краевых задач со специальными краевыми условиями
Место: ул. Комсомольская, д.3., помещение МНИЛ "Дискретная и вычислительная геометрия" им. Б. Н. Делоне
Аннотация: Рассматривается краевая задача со специальными краевыми условиями. В зависимости от значений параметров, нулевое решение может быть устойчивым или неустойчивым. Для нее реализуется два способа потери устойчивости нулевого состояния равновесия дивергентный, когда в спектре устойчивости появляется нулевое значение, и колебательный, соответствующий случаю выхода пары собственных значений из левой комплексной полуплоскости на мнимую ось. Задача исследования состояла в изучении свойств потери устойчивости нулевого решения краевой задачи, т.е. в поиске критических значений параметров и построении асимптотических формул для режимов, от него ответвляющихся.
Докладчик: Сергей Дмитриевич Глызин
Тема доклада: О понятии диффузионного хаоса. Часть 3
Место: ул. Комсомольская, д.3., помещение МНИЛ "Дискретная и вычислительная геометрия" им. Б. Н. Делоне
Аннотация: Для распределенных эволюционных динамических систем типа "реакция - диффузия" и "реакция - диффузия - адвекция" вычисляются инвариантные числовые характеристики аттрактора при уменьшении коэффициентов диффузии. Рассматривается феномен многомодового диффузионного хаоса, одним из проявлений которого является увеличение ляпуновской размерности аттрактора. Для ряда примеров выполнен обширный численный эксперимент, в котором проиллюстрирован этот эффект.
Николай Юрьевич Ероховец (МГУ) 6-7 ноября прочтет миникурс из двух лекций на тему:
"Трёхмерные многогранники, фуллерены и геометрия Лобачевского"
Первая лекция - среда 6 ноября в 14:15 в аудитории 412, 7-й корпус ЯрГУ.
Вторая лекция - четверг 7 ноября в 9:00 в аудитории 412, 7-й корпус ЯрГУ.
Аннотация:
Выпуклый трёхмерный многогранник -- это ограниченная фигура в пространстве, задаваемая как пересечение полупространств. Два многогранника комбинаторно одинаковы, если можно установить взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин, рёбер и граней, сохраняющее включение. Для выпуклых многогранников известна формула Эйлера: число вершин минус число рёбер плюс число граней всегда равно двум. Многогранник называется простым, если каждая его вершина лежит ровно в трёх гранях. С конца XIX века известен следующий результат В.Эберхарда: каждый простой многогранник комбинаторно может быть получен из тетраэдра при помощи последовательности операций, каждая из которых является срезкой вершины, ребра или пары смежных рёбер одной плоскостью. Операции Эберхарда использовались известным русским учёным Е.С.Фёдоровым в кристаллографии.
Фуллереном мы называем простой многогранник, у которого каждая грань является пятиугольником или шестиугольником. Фуллерены являются моделями одноименных молекул углерода, за открытие которых Х.Крото, Р.Кёрл и Р.Смолли в 1996 году получили Нобелевскую премию. Самый известный фуллерен C60 имеет форму футбольного мяча (а также Архимедова тела усечённого икосаэдра). Из формулы Эйлера следует, что каждый фуллерен имеет ровно 12 пятиугольников. В то же время число шестиугольников может быть любым, кроме единицы (попробуйте это строго доказать!). Для фуллеренов имеется единственная операция Эберхарда, которая фуллерены переводит в фуллерены. Эта операция может быть описана так: пусть имеется фрагмент, состоящий из шестиугольника и двух пятиугольников, смежных с ним по противоположным рёбрам. Тогда операция заключается в подразделении шестиугольника новым ребром на два пятиугольника так, что старые пятиугольники превращаются в шестиугольники. С помощью такой операции из единственного фуллерена с двумя шестиугольниками (мы называем его 6-бочкой) можно получить некоторый фуллерен с любым большим числом шестиугольников (но не любой, попробуйте доказать). Эта операция для фуллеренов была описана химикам М.Эндо и Х.Крото. Она играет важную роль в теории образования фуллеренов.
Имеется 1-параметрическое семейство фуллеренов, которое состоит из додекаэдра и так называемых (5,0)-нанотрубок. Поверхность таких фуллеренов получается разрезанием поверхности додекаэдра на две шапочки, состоящие из пятиугольника, окружённого пятиугольниками, и добавлением некоторого набора поясов, состоящих из пяти шестиугольников.
Мы покажем, что каждый фуллерен, не лежащий в этом семействе, может быть получен из 6-бочки при помощи операций срезки пары смежных рёбер так, что после каждой операции получается фуллерен или простой многогранник с одним семиугольником, остальные грани которого являются пятиугольниками или шестиугольниками. Этот результат даёт метод перечисления всех фуллеренов, который может быть реализован компьютерной программой.
Планируется также обсудить следующий факт. Любой фуллерен может быть реализован в пространстве Лобачевского так, что все его углы будут прямыми. Это позволяет склеивать из нескольких копий фуллеренов трёхмерные поверхности.
Миникурс будет доступен старшеклассникам и студентам младших курсов, хотя может быть интересен и специалистам в смежных областях.
Этот миникурс пройдет в рамках учебной программы «Современные приложения элементарной математики», состоящей из серии двухдневных миникурсов, по каждому из которых будет проведено письменное тестирование. Время проведения тестирования будет объявлено дополнительно.
Объявлен конкурс для студентов и аспирантов по прохождению этой учебной программы. Победители конкурса будут награждены дипломами, призами и получат информацию о возможностях дополнительного образования и научной работы.
Студенты математического факультета ЯрГУ могут ходить на миникурсы, даже если они пересекаются с другими занятиями. Если студенту нужен документ, подтверждающий, что он пропустил какое-то занятие из-за посещения миникурса, такой документ можно получить в деканате.
