Аннотация: Интегрируемость в моделях статистической физики обычно выражается в том, что статистическая сумма может быть представлена через трансфер матрицу, включенную в "большое" коммутативное семейство. Последнее свойство для двумерных моделей традиционно сопровождается структурой вершинной модели с матрицей весов, удовлетворяющей уравнению Янга-Бакстера. В докладе пойдет речь об обобщении этой  идеи на большую размерность, в частности я рассмотрю трехмерную модель Изинга, а также модель нейросети Хопфилда на 2-мерной треугольной решетке в фазе воспоминания. Оказывается, что обе эти модели имеют вершинное представление, с матрицей весов, удовлетворяющей деформации обобщения уравнения Янга-Бакстера на размерность 3 -так называемому скрученному уравнению тетраэдров. В обоих случаях для построения матрицы весов существенно используется комбинаторика гиперкуба.

Место: ул. Комсомольская д.3, лаборатория "Дискретная и вычисления геометрия" им. Б.Н. Делоне.

Аннотация: Все уравнения Пенлеве могут быть записаны в виде зависящей от времени гамильтоновой системы, и поэтому они допускают естественное обобщение на случай нескольких частиц с взаимодействием типа Калоджеро (рационального, тригонометрического или эллиптического). Недавно было доказано, что эти системы взаимодействующих частиц имеют отношение к изучению β-моделей (β-models).

Уже почти два десятилетия стоит вопрос Такасаки о том, можно ли понимать эти многочастичные системы как изомонодромные уравнения, расширяя соответствие Пенлеве. Я дам (утвердительный) ответ, показывая явно подходящие изомонодромные формулировки пары Лакса. В качестве приложения изомонодромного представления, мы создаем конструкцию, основанную на дискретных преобразованиях Шлезингера, для получения решений этих систем для некоторых значений констант связи, начиная с несвязанных; метод проиллюстрирован для случая второго уравнения Пенлеве.

Это совместная работа с Marco Bertola (SISSA-CRM, Монреаль) и Mattia Cafasso (LAREMA, Анже).

Литература

[1] M. Bertola, M. Cafasso, V. Roubtsov, Non-commutative Painlevé equations and systems of Calogero type, arXiv:1710.00736, 25 pp.

[2] K. Takasaki. Painlevé-Calogero correspondence revisited. J. Math. Phys., 42(3):1443–1473, 2001.

Место: ул. Комсомольская д.3, лаборатория "Дискретная и вычисления геометрия" им. Б.Н. Делоне.

Докладчик: А.В. Джамай, университет Северного Колорадо (University of Northern Colorado), США

Тема: "Геометрия дискретных интегрируемых систем"

Аннотация: Много интересных примеров дискретных интегрируемых систем можно изучать с геометрической точки зрения. На этом семинаре мы рассмотрим примеры двух типов таких систем: автономные (отображения QRT) и неавтономные (дискретные уравнения Пенлеве). Мы введем некоторые геометрические инструменты для изучения таких систем, такие как как процедура раздутия (blow-up) для построения алгебраических поверхностей, на которых регуляризуются отображения, линеаризация отображения на решетке Пикара поверхности и, для дискретных уравнений Пенлеве, разложение решетки Пикара на подрешетку поверхностности и подрешетку симметрий, и построение бирационального представления аффинных групп симметрии Вейля, которое дает полное алгебраическое описание нашей нелинейной динамики.

Место: Знаменская башня, ул. Комсомольская, д.3. (вход внутри арки).

Аннотация: Под квантовой матричной алгеброй (QMA) я имею в виду алгебру, порожденную элементами матрицы, подверженной некоторым отношениям. Наиболее известными QMA являются алгебры RTT и уравнения отражения. Каждый из них связан с матрицей R (константой или зависящей от параметров). QMA играют очень важную роль в теории квантовых интегрируемых систем. Я планирую продемонстрировать некоторые свойства.

Место: Знаменская башня, ул. Комсомольская, д.3. (вход внутри арки)

Аннотация: Мы воспользуемся задачами Римана-Гильберта с канонической нормировкой для построения пар Лакса, зависящих полиномиально от спектрального параметра. Таким образом будут получены примеры новых солитонных уравнений типа N-волн но с кубическими нелинейностями, а также новый вариант модели Кулиша-Склянина. Обсудим также редукции этих уравнений. Часть этих результатов опубликована в [1, 2, 3].

Литература:

[1] V. S. Gerdjikov. Riemann-Hilbert Problems with canonical normalization and families of commuting operators. Pliska Stud. Math. Bulgar. 21, 201–216 (2012). arXiv:1204.2928v1 [nlin.SI].

[2] V. S. Gerdjikov. On new types of integrable 4-wave interactions. AIP Conf. proc. 1487 pp. 272-279; (2012). doi: 10.1063/1.4758968 (8 pages). Proceedings of AMITANS-4 conference. arXiv:1302.1116.

[3] V. S. Gerdjikov. Kulish-Sklyanin type models: integrability and reductions. Theoretical and Mathematical Physics 192 (2): 1097–1114 (2017); ArXive: 1702.04010 [nlin.SI]

Место: ул. Комсомольская д.3, лаборатория "Дискретная и вычислительная геометрия" им. Б.Н. Делоне.

Аннотация: В этом семинаре, я собираюсь дать введение в теорию отображений Янга-Бакстера, и покажу, как можно использовать преобразования Дарбу для построения отображений Янга-Бакстера, которые можно свести к вполне интегрируемым отображениям на инвариантных листах. Приведу примеры связанные с уравнениями типа нелинейного Шредингера.

Место: Знаменская башня (ул. Комсомольская, д.3., вход внутри арки).

Аннотация: Изучаются интегрируемые системы ОДУ с однородной квадратичной правой частью и двумя неизвестными, которые являются матрицами произвольного размера.

Место: Знаменская башня (ул. Комсомольская, д.3., вход внутри арки). 

Место: Знаменская  башня (ул. Комсомольская, д.3., вход внутри арки).

Аннотация: На этом семинаре, я дам введение в теорию преобразований Дарбу и Бэклунда для дифференциальных уравнений с частными производными. Кроме того, я представлю так называемую схему Дарбу-Лакса о построении дискретных интегрируемых систем, используя преобразовании Дарбу соответствующих диф. уравнений с частными производными. Приведу примеры связанные с уравнениями типа нелинейного Шрёдингера.

Место: Знаменская башня (ул. Комсомольская, д.3., вход внутри арки)

Аннотация: В докладе я собираюсь рассказать об интегрируемых системах, коснуться истории их возникновения и некоторых приложений. Я постараюсь показать связи теории интегрируемых систем с другими областями математики, такими как теория функций комплексного переменного, алгебраическая геометрия, теория алгебр Ли и групп их автоморфизмов, дифференциальная и разностная алгебра, теория чисел, аналитическая теория дифференциальных уравнений, спектральная теория операторов, асимптотический анализ и теория нормальных форм асимптотических разложений.

Место: ул. Комсомольская, д.3., помещения МНИЛ "Дискретная и вычислительная геометрия" им. Б. Н. Делоне (конференц-зал).