Докладчик: Дмитрий Валерьевич Талалаев (МГУ, ЯрГУ)
Тема: Электрические многообразия, как вершинные статистические модели
Дата:  29 мая 2019 года (среда)

Аннотация:

Одной из загадочных областей современной алгебры является теория кластерных алгебр. С одной стороны эти структуры связаны с феноменом полной положительности, а с другой с дискретными интегрируемыми системами. Я расскажу о совсем свежих результатах, полученных совместно с В.Г. Горбуновым, обнаруживающих аналогичную структуру в задаче про электрические сети. Оказывается, что эта задача является деформацией задачи Люстига о разложении унипотентной подгруппы верхнетреугольных матриц, для нее имеется вершинное представление, характерное для моделей статистической физики, а хорошо известный закон Ома может быть проинтерпретирован, как решение локального уравнения Янга-Бакстера.

Докладчик: Борис Сергеевич Бычков (ВШЭ, ЯрГУ)
Тема: Числа Гурвица: от теоремы Окунькова до топологической рекурсии
Время: среда 17 апреля, 16:00
Место: ауд. 427, 7-й корпус ЯрГУ (ул. Союзная 144).

Аннотация: 
Числа Гурвица перечисляют разложения заданной перестановки в произведение данного количества транспозиций и впервые встречаются в работах Гурвица в конце XIX века. Окуньков, уже в конце XX века, доказал, что производящая функция связных двойных чисел Гурвица является решением иерархии Тоды. Этот результат связал воедино числа Гурвица, теорию представлений, интегрируемые системы, теорию пересечений на пространствах модулей алгебраических кривых. Топологическая рекурсия --- это бурно развивающийся теория, которая позволяет рекуррентно находить члены производящих рядов, в частности --- для чисел Гурвица. В докладе я докажу теорему Окунькова и, если останется время, опишу круг вопросов, затрагивающихся топологической рекурсией.

Докладчик: Василий Геннадьевич Горбунов (Абердинский университет, Великобритания и ВШЭ, Москва)
Тема: Исчисление Шуберта и квантовые интегрируемые системы
Время: среда 3 апреля, 16:00
Место: ауд. 427, 7-й корпус ЯрГУ (ул. Союзная 144).

Аннотация:
Исчисление Шуберта, классическое, эквивариантное и квантовое по существу является разделом теории пересечений на однородных пространствах связанных с классическими группами Ли.
В докладе мы опишем новое свойство классического, эквивариантного и квантового исчисления Шуберта, которое выполняется для всех типов классических групп Ли. В качестве основного примера мы будем использовать многообразия Грассмана типа А. Обычное определение циклов Шуберта включает выбор параметра, а именно выбор полного флага. Изучение зависимости циклов Шуберта от этого параметра в эквивариантных когомологиях приводит к интересному решению квантового уравнения Янга-Бакстера и, следовательно, связывает исчисление Шуберта и теорию квантовых интегрируемых систем.
В этом докладе мы опишем соответствующие квантовые интегрируемые системы, которые оказываются двумя вырождениями sl_2 Янгиана, в терминах геометрической теории представлений и объясним некоторые интересные следствия этой связи для исчисления Шуберта.

Докладчик: Сотирис Константину-Ризос (ЯрГУ)
Тема: Интегрируемые дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных с помощью преобразований Дарбу
Время: среда 20 марта, 16:00
Место: ауд. 427, 7-й корпус ЯрГУ (ул. Союзная 144).

Аннотация:
Преобразования Дарбу и Бэклунда являются важным инструментом в теории интегрируемых систем. Они позволяют строить новые решения из известных решений и являются мостом между интегрируемыми дифференциальными уравнениями в частных производных и дискретными интегрируемыми системами. В докладе, я собираюсь показать эту связь и продемонстрировать важность «интегрируемых» дискретизаций дифференциальных уравнений в частных производных с помощью преобразований Дарбу. В качестве примера я буду использовать уравнения типа нелинейного Шредингера.

Докладчик: Дмитрий Валерьевич Талалаев (МГУ, ЯрГУ)
Тема: Задача об электрических сетях и современная математика
Время: среда 6 марта, 16:00
Место: ауд. 427, 7-й корпус ЯрГУ (ул. Союзная 144).

Аннотация:

Я расскажу о классической задаче электрических сетей, поставленной и решенной Кирхгофом в середине 19 века, а также о том, с какими структурами современной математики она связана. Среди сюжетов:

1. Интегрируемые модели статистической физики: модель Изинга, модель димера.
2. Дискретный гармонический анализ: дискретные гармонические функции, принцип максимума.
3. Комбинаторика путей на графах: матричная теорема о деревьях.
4. Дискретные интегрируемые системы типа цепочек Тоды.
5. Кластерные структуры: движения электрических сетей.

Я постараюсь сказать обо всех перечисленных связях.

Докладчик: Сергей Валерьевич Смирнов (МГУ)
Тема: Дискретизация двумеризованных цепочек Тоды
Время: среда 20 февраля, 16:00
Место: ауд. 427, 7-й корпус ЯрГУ (ул. Союзная 144).

Аннотация:
Хорошо известно, что в непрерывном случае двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие  матрицам Картана простых алгебр Ли, интегрируемы по Дарбу, т.е. практически в явном виде, а цепочки, соответствующие обобщенным матрицам Картана, интегрируемы методом обратной задачи.

Хотя дискретные варианты отдельных частных случае рассматривались и ранее, в 2011 году И.Т.Хабибуллиным был предложен систематический способ дискретизации так называемых систем экспоненциального типа (обобщение цепочек Тоды): идея состояла в том, чтобы найти такую дискретизацию, при которой характеристические интегралы при переходе от непрерывной модели к полудискретной (и от полудискретной к чисто дискретной) сохраняют свой вид. В статьях Хабибуллина с соавторами было продемонстрировано, что этот метод работает для цепочек Тоды небольшой длины.

Я расскажу, почему этот метод работает для дискретизаций цепочек произвольной длины серий A и C и какие есть продвижения в вопросе интегрируемости этих дискретизаций в общем случае.

Докладчики: Д.В. Талалаев (МГУ, ЯрГУ), С.Г. Константину-Ризос (ЯрГУ).

Время: среда 6 февраля, 16:00

Место: ауд. 427, 7-й корпус ЯрГУ (ул. Союзная 144).

Название: Введение в теорию дискретных интегрируемых систем

Аннотация: 

Этот доклад предваряет серию семинаров и обсуждений, планируемых Центром интегрируемых систем в 2019 году. Темы этой серии будут находиться в области дискретных интегрируемых систем, приобретающей особое внимание ученых во всем мире в двух последних декадах. Оказывается, что родственные свойства, интерпретируемые как дискретная интегрируемость, имеют задачи абсолютно не связанных на первый взгляд областей. В фокусе семинара будут такие задачи: симметрии иерархий нелинейных полевых систем, дискретная голоморфная геометрия, решетчатые модели статистической физики, инварианты маломерной топологии, кластерные алгебраические структуры, эллиптические биллиарды и многие другие.

На этом докладе в виде обзора будет описана область связанных с дискретной интегрируемостью сюжетов и дано описание базовых свойств дискретных интегрируемых систем на двумерных решетках, связанных с симметриями нелинейных систем дифференциальных уравнений, в том числе условие 3D-совместности.

Формат семинара в первую очередь направлен на возможность совместной научной работы, поэтому в процессе докладов будут разбираться все интересные вопросы до полного понимания.

Состоится научный семинар НОМЦ по Дискретным интегрируемым системам, условию 3D совместности и уравнению Янга-Бакстера.

Место: ауд. 427, 7-й корпус ЯрГУ, в 14:00.

Аннотация: Уравнения на квад-графах и отображения Янга-Бакстера строго связаны друг с другом. В первой части семинара, я собираюсь дать введение в теорию отображений Янга-Бакстера. Во второй части, я буду рассказывать о схеме Дарбу-Лакс о построении интегрируемых систем на квад-графах. Потом, я покажу, как можно использовать соответствующие преобразования Дарбу, чтобы построить отображения Янга-Бакстера, которые можно свести к вполне интегрируемым отображениям на инвариантных листах. Приведу примеры, связанные с уравнениями типа нелинейного Шредингера.

Аннотация: Мы нашли достаточно общую конструкцию коммутирующих векторных полей на $k$-й симметрической степени пространства $\mathbb{C}^{m}$ и касательных векторных полей к $k$-й симметрической степени аффинного многообразия $V\subset\mathbb{C}^{m}$. Применение этой конструкции к $k$-й симметрической степени плоской алгебраической кривой $V_g$ рода $g$ дает $k$ интегрируемых гамильтоновых систем на $\mathbb{C}^{2k}$ (или на $\mathbb{R}^{2k}$, если основное поле -- $\mathbb{R}$). В случае $k=g$ симметрическая степень ${\rm Sym}^k(V_g)$ бирационально изоморфна якобиану кривой $V_g$, и наша система эквивалентна известной системе Дубровина, которая была получена и изучена в теории конечнозонных решений (теории алгебро-геометрического интегрирования) уравнения Кортевега--де Фриза. Мы нашли координаты, в которых полученные системы и их гамильтонианы полиномиальны. Для $k=2,\ g=1,2,3$ мы выписываем эти системы явно и обсуждаем задачу интегрирования их.

Место проведения: 7-й корпус ЯрГУ, ауд. 419

Аннотация: Интегрируемость в моделях статистической физики обычно выражается в том, что статистическая сумма может быть представлена через трансфер матрицу, включенную в "большое" коммутативное семейство. Последнее свойство для двумерных моделей традиционно сопровождается структурой вершинной модели с матрицей весов, удовлетворяющей уравнению Янга-Бакстера. В докладе пойдет речь об обобщении этой  идеи на большую размерность, в частности я рассмотрю трехмерную модель Изинга, а также модель нейросети Хопфилда на 2-мерной треугольной решетке в фазе воспоминания. Оказывается, что обе эти модели имеют вершинное представление, с матрицей весов, удовлетворяющей деформации обобщения уравнения Янга-Бакстера на размерность 3 -так называемому скрученному уравнению тетраэдров. В обоих случаях для построения матрицы весов существенно используется комбинаторика гиперкуба.

Место: ул. Комсомольская д.3, лаборатория "Дискретная и вычисления геометрия" им. Б.Н. Делоне.