М.В. Невский, А.Ю. Ухалов, Некоторые свойства 0/1-симплексов, Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика, 18:3, 305--315 (2018).

\url{https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-3-305-315}

АННОТАЦИЯ

Пусть n ∈ N, Qn = [0, 1]n. Для n-мерного невырожденного симплекса S под σS понимается результат гомотетии S относительно центра тяжести с коэффициентом гомотетии σ. Положим ξ(S) = min{σ > 1 : Qn ⊂ σS}, ξn = min{ξ(S) : S ⊂ Qn }. Через P обозначим интерполяционный проектор, действующий из C(Qn ) на пространство линейных функций от n переменных, узлы которого совпадают с вершинами симплекса S ⊂ Qn. Пусть kP k норма P как оператора из C(Qn ) в C(Qn ), θn = min kP k. Через ξn′ и θn′ обозначаются величины, аналогичные ξn и θn, при дополнительном ограничении, что рассматриваемые симплексы являются 0/1-многогранниками, т. е. их вершины совпадают с вершинами Qn. В статье систематизируются общие оценки чисел ξn′, θn′, а также приводятся их новые оценки и точные значения для конкретных n. Доказывается, что ξn′ ≍ n, √ θn′ ≍ n. Пусть одна из вершин 0/1-симплекса S ∗ есть произвольная вершина v куба Qn, а n остальных являются смежными с противоположной к v вершиной куба. Для 2 6 n 6 5 каждый симплекс, экстремальный в смысле ξn′, совпадает с S ∗. Минимальное n, при котором ξ(S ∗ ) > ξn′, равно 6. Обозначим через P ∗ интерполяционный проектор с узлами в вершинах S ∗. Минимальное n, при котором kP ∗ k > θn′, равно 5.