М.В. Невский, А.Ю Ухалов, "О минимальном коэффициенте поглощения для n-мерного симплекса", Моделирование и анализ информационных систем, 25:1, 140--150 (2018).

https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-140-150

АННОТАЦИЯ

Пусть n∈Nn∈N, Qn=[0,1]nQn=[0,1]n. Для невырожденного симплекса S⊂RnS⊂Rn через σSσS обозначим образ SS при гомотетии относительно центра тяжести с коэффициентом σ.σ. Положим ξ(S)=min{σ≥1:Qn⊂σS}.ξ(S)=min{σ≥1:Qn⊂σS}. Величину ξ(S)ξ(S) будем называть коэффициентом поглощения куба QnQn симплексом SS. В статье приводятся новые оценки для минимального коэффициента поглощения для симплекса, содержащегося в QnQn, т. е. величины ξn=min{ξ(S):S⊂Qn}.ξn=min{ξ(S):S⊂Qn}. Эта величина и её аналоги, в частности, имеют приложения при оценивании норм интерполяционных проекторов. Общие оценки ξnξn были ранее получены в работах первого автора. Всегда n≤ξn<n+1n≤ξn<n+1. Если существует матрица Адамара порядка n+1n+1, то ξn=nξn=n. Лучшая из известных общих оценок сверху имеет вид ξn≤n2−3n−1ξn≤n2−3n−1 (n>2)(n>2). Cуществует не зависящая от nn константа c>0c>0, такая что для любого симплекса S⊂QnS⊂Qn, имеющего максимальный объём, выполняются неравенства cξ(S)≤ξn≤ξ(S)cξ(S)≤ξn≤ξ(S). Это мотивиpует применение для оценивания ξnξn сверху симплексов максимального объёма в QnQn. Для построения набора вершин такого симплекса могут применяться максимальный 0/10/1-определитель порядка nn или максимальный −1/1−1/1-определитель порядка n+1n+1. В работе вычисляются коэффициенты поглощения для симплексов максимального объёма, построенных с использованием специальной процедуры из известных максимальных −1/1−1/1-определителей. Для ряда значений nn c помощью этого подхода удалось понизить верхние границы ξnξn, полученные теоретическим путём. Приводятся лучшие известные оценки ξnξn cверху для n≤118n≤118.