По своему происхождению, интегрируемые системы – это особый класс дифференциальных и разностных уравнений, обладающих либо явными решениями, либо симметриями более сложной природы. В современном смысле симметрии – синоним понятия интегрируемости. Предметная область интегрируемых систем весьма широка, она затрагивает все основные разделы современной математики.

  Традиционно выделяются такие основные разделы теории интегрируемых систем:

1. Конечномерные гамильтоновы динамические системы.
2. Теоретико-полевые гамильтоновы системы.
3. Дискретные интегрируемые системы.
4. Квантовые интегрируемые системы.
5. Точно-решаемые модели статистической физики.

  Можно особо отметить сюжеты современной математики, связанные с интегрируемыми системами:

1. Теория инвариантов в маломерной топологии.
2. Теория представлений полупростных алгебр Ли, аффинных алгебр, алгебр Гекке, Темперли-Либа, квантовых обертывающих алгебр.
3. Алгебраическая геометрия системы типа Хитчина, геометрия пространств флагов, геометрия пространств модулей кривых и расслоений, многообразия инстантонов и многообразия Накаджимы.
4. Комбинаторные инварианты графов, пересечений, зацеплений.

  Интегрируемые системы впечатляют многочисленностью своих приложений в самых разных областях, включая описание волн на водной поверхности и электромагнитных волн в плазме, изучение распространения света в оптоволоконных линиях телекоммуникаций, предсказание поведения нейронных сетей и решетчатых моделей статистической физики, решение квантовых моделей твердого тела.