Аннотация: Топографический подход Конвея к бинарным квадратичным формам и тройкам Маркова рассматривается с точки зрения теории двузначных групп. Это естественно приводит к новому классу коммутативных двузначных групп, которые мы называем инволютивными.

Мы показываем, что в этом классе особую роль играет двузначная группа нестрогих векторов Конвея. Группа PGL2(Z), описывающая симметрии топографа Конвея, действует автоморфизмами этой двузначной группы. Бинарные квадратичные формы интерпретируются при этом как примитивные элементы 2-алгебры Хопфа функций на группе Конвея. Этот факт используется для построения явного вложения группы Конвея в R и, тем самым, для введения на ней полного группового порядка.

Мы классифицируем все двузначные алгебраические инволютивные группы с симметричным законом умножения и показываем, что все они
получаются косет-конструкцией из закона сложения на эллиптических кривых. В частности, это проясняет особую роль модификации уравнения Маркова, предложенной Морделлом, и показывает ее связь с двузначными группами из K-теории.

Статья заканчивается обсуждением роли двузначных групп и группы PGL2(Z) в контексте интегрируемости в многозначной динамике.